Dedução da equação de Bernoulli

Acredito que para entender completamente uma equação é necessário saber como fazer sua demonstração/dedução

Neste post eu irei apresentar uma demonstração bastante simples da equação de Bernoulli

Hipóteses adotadas

Farei a dedução da equação de Bernoulli considerando um fluido em regime permanente de escoamento, incompressível e que não apresenta viscosidade ou atrito com as paredes da tubulação

Também irei considerar que nenhuma bomba fornece energia para o sistema

Em outras palavras, temos um sistema idealizado sem perdas de carga e com escoamento ocorrendo exclusivamente devido a ação da gravidade

Dito isso, vamos isolar uma porção do fluido dentro de um trecho qualquer da tubulação

Suponha que na seção da esquerda atua a pressão P1 e na seção da direita atua a pressão P2

Após determinado intervalo de tempo essa porção de fluido terá se deslocado para a direita, conforme mostra a ilustração presente no início deste post

Como o fluido é incompressível, o volume deslocado na seção 1 (ΔV₁) é igual ao volume deslocado na seção 2 (ΔV₂)

Isso é o que estabelece o princípio de conservação da massa ou a equação da continuidade

Trabalho das forças de pressão

Sabemos que pressão é igual força sobre área e que trabalho é o produto da força pelo deslocamento

Portanto, o trabalho da força no sentido do fluxo é calculado com a fórmula abaixo:

\[ W_1 = F_1 \cdot \Delta x_1 \] \[ W_1 = P_1 \cdot A_1 \cdot \Delta x_1 \] \[ W_1 = P_1 \cdot \Delta V \]

Da mesma maneira obtemos o trabalho da força contrária ao fluxo:

\[ W_2 = -F_2 \cdot \Delta x_2 \] \[ W_2 = -P_2 \cdot A_2 \cdot \Delta x_2 \] \[ W_2 = -P_2 \cdot \Delta V \]

Observe que o trabalho realizado pela força F₂ é negativo, pois ela atua no sentido contrário ao fluxo, ou seja, no sentido contrário ao deslocamento

Trabalho da força peso

Sobre a porção de fluido também atua a força da gravidade, cujo trabalho é dado pelo produto dessa força pelo deslocamento vertical

\[ W_p = -P \cdot \Delta z \] \[ W_p = -m \cdot g \cdot (z_2 – z_1) \] \[ W_p = -d \cdot \Delta V \cdot g \cdot (z_2 – z_1) \]

Para compreender melhor o trabalho realizado pela força peso podemos imaginar a porção de fluido dividida em porções menores com a mesma massa m (Veja ilustração abaixo)

Note que quando o fluido se desloca cada uma dessas pequenas porções se elevam um pouco, de tal forma que o trabalho total da força peso é a soma do trabalho sobre cada uma delas

Teorema da energia cinética

Aplicando o Teorema da Energia Cinética, temos que:

\[ \begin{gathered} P_1 \cdot \Delta V – P_2 \cdot \Delta V – d \cdot \Delta V \cdot g \cdot (z_2-z_1) \\[6pt] = \frac{m \cdot v_2^2}{2} – \frac{m \cdot v_1^2}{2} \end{gathered} \]

Sabemos que massa é igual ao produto da densidade pelo volume, logo:

\[ \begin{gathered} P_1 \cdot \Delta V – P_2 \cdot \Delta V – d \cdot \Delta V \cdot g \cdot (z_2-z_1) \\[6pt] = \frac{d \cdot \Delta V \cdot v_2^2}{2} – \frac{d \cdot \Delta V \cdot v_1^2}{2} \end{gathered} \]

Dividindo os dois lados da equação por d.ΔV.g e organizando os termos, obtemos a equação de Bernoulli:

\[ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 \]

Onde:

P₁ e P₂ = Pressão nos pontos 1 e 2, respectivamente

v₁ e v₂ = Velocidade nas seções 1 e 2, respectivamente

z₁ e z₂ = Cota dos pontos 1 e 2, respectivamente

γ = Peso específico do fluido (γ = d . g)

g = Aceleração da gravidade

Então finalizamos aqui a dedução

Juntamente com as equações de Navier-Stokes, acredito que a equação de Bernoulli seja uma das mais importantes da mecânica dos fluidos

Com ela é possível resolver muitos problemas com bastante facilidade

Para exemplificar, podemos utilizar a equação de Bernoulli para obter a fórmula da altura manométrica total e do NPSH disponível de uma instalação de recalque (Leia mais posts)

No próximo post faremos a dedução da equação de Bernoulli considerando um sistema com bomba e perda de carga (Clique Aqui para Ler)

Veja no vídeo abaixo a apresentação da planilha para dimensionamento de bombas centrífugas

OBS.: Essa é a planilha mais simples e intuitiva que conheço para o dimensionamento de bombas centrífugas. Ela calcula a altura manométrica total, vazão de projeto, potência necessária da bomba e NPSH disponível. Além disso, gera memorial de cálculo automaticamente

Saiba mais sobre a planilha Clicando Aqui

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Escrito por: Pedro Henrique Lelis Brito

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