Acredito que para entender completamente uma equação é necessário saber como fazer sua demonstração/dedução
Neste post eu irei apresentar uma demonstração bastante simples da equação de Bernoulli levando em consideração as perdas de carga e a presença de bomba no sistema
Hipóteses adotadas
Farei a dedução da equação de Bernoulli considerando um fluido incompressível em regime permanente de escoamento
Também irei considerar que a instalação possui uma bomba que fornece energia para o sistema e que as perdas de carga não são desprezíveis
Dito isso, suponha um trecho qualquer de tubulação com a presença da bomba
Suponha que na seção da esquerda atua a pressão P1 e na seção da direita atua a pressão P2
Após determinado intervalo de tempo essa porção de fluido terá se deslocado para a direita, conforme mostra a ilustração presente no início deste post
Como o fluido é incompressível, o volume deslocado na seção 1 (ΔV1) é igual ao volume deslocado na seção 2 (ΔV2)
Isso é o que estabelece o princípio de conservação da massa ou a equação da continuidade
Trabalho das forças de pressão
Sabemos que pressão é igual força sobre área e que trabalho é o produto da força pelo deslocamento
Portanto, o trabalho da força no sentido do fluxo é calculado com a fórmula abaixo:
\[ W_1 = F_1 \cdot \Delta x_1 \] \[ W_1 = P_1 \cdot A_1 \cdot \Delta x_1 \] \[ W_1 = P_1 \cdot \Delta V \]Da mesma maneira obtemos o trabalho da força contrária ao fluxo:
\[ W_2 = -F_2 \cdot \Delta x_2 \] \[ W_2 = -P_2 \cdot A_2 \cdot \Delta x_2 \] \[ W_2 = -P_2 \cdot \Delta V \]Observe que o trabalho realizado pela força F2 é negativo, pois ela atua no sentido contrário ao fluxo, ou seja, no sentido contrário ao deslocamento
Logo, o trabalho resultante das forças de pressão é calculado com a fórmula a seguir:
\[ W_{\text{Pressão}} = (P_1 – P_2) \cdot \Delta V \]Trabalho da força peso
Sobre a porção de fluido também atua a força da gravidade, cujo trabalho é dado pelo produto dessa força pelo deslocamento vertical
\[ W_p = -P \cdot \Delta z \] \[ W_p = -m \cdot g \cdot (z_2 – z_1) \] \[ W_p = -d \cdot \Delta V \cdot g \cdot (z_2 – z_1) \]Para compreender melhor o trabalho realizado pela força peso podemos imaginar a porção de fluido dividida em porções menores com a mesma massa m (Veja ilustração abaixo)
Note que quando o fluido se desloca cada uma dessas pequenas porções se elevam um pouco, de tal forma que o trabalho total da força peso é a soma do trabalho sobre cada uma delas
Trabalho da bomba
Como o sistema possui uma bomba que fornece energia para o fluido, o trabalho realizado por essa bomba tem o potencial de elevar a massa de fluido “m” até uma altura “H”, sendo “m” o produto da densidade (d) pelo volume bombeado (ΔV)
Dessa forma, o trabalho realizado pela bomba pode ser calculado com a fórmula abaixo:
\[ W_{\text{Bomba}} = m \cdot g \cdot H \] \[ W_{\text{Bomba}} = d \cdot \Delta V \cdot g \cdot H \]Trabalho das forças dissipativas
Vamos calcular agora a energia que é removida do fluido devido a atuação das forças dissipativas
Ao contrário das outras forças que foram apresentadas até aqui, as forças dissipativas não possuem uma expressão simples que nos permite facilmente calculá-las
Por esse motivo, usamos um conceito chamado de perda de carga
Podemos definir a perda de carga (hf) como sendo a quantidade de energia dissipada por unidade de peso do fluido
\[ h_f = \frac{\text{Energia dissipada}}{m \cdot g} \]Dessa maneira, a energia ou trabalho realizado pelas forças dissipativas pode ser estimada com a fórmula mostrada abaixo:
\[ W_{\text{Atrito}} = -m \cdot g \cdot h_f \] \[ W_{\text{Atrito}} = -d \cdot \Delta V \cdot g \cdot h_f \]OBS.: O sinal negativo é um indicativo de que a energia está sendo subtraída do fluido
Teorema da energia cinética
Aplicando o Teorema da Energia Cinética, temos que:
\[ \begin{gathered} (P_1-P_2)\cdot\Delta V-d\cdot\Delta V\cdot g\cdot(z_2-z_1)+\\[4pt] +d\cdot\Delta V\cdot g\cdot H-d\cdot\Delta V\cdot g\cdot h_f\\[4pt] =\frac{m\cdot v_2^2}{2}-\frac{m\cdot v_1^2}{2} \end{gathered} \]Sabemos que massa é igual ao produto da densidade pelo volume, logo:
\[ \begin{gathered} (P_1-P_2)\cdot\Delta V-d\cdot\Delta V\cdot g\cdot(z_2-z_1)+\\[4pt] +d\cdot\Delta V\cdot g\cdot H-d\cdot\Delta V\cdot g\cdot h_f\\[4pt] =\frac{d\cdot\Delta V\cdot v_2^2}{2}-\frac{d\cdot\Delta V\cdot v_1^2}{2} \end{gathered} \]Dividindo os dois lados da equação por d.ΔV.g e organizando os termos, obtemos a equação de Bernoulli para um sistema com bomba e perda de carga:
\[ \frac{P_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + H = \frac{P_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_f \]Onde:
P1 e P2 = Pressão nos pontos 1 e 2, respectivamente
v1 e v2 = Velocidade nas seções 1 e 2, respectivamente
z1 e z2 = Cota dos pontos 1 e 2, respectivamente
γ = Peso específico do fluido (γ = d . g)
g = Aceleração da gravidade
H = Altura manométrica total
hf = Perda de carga total
Então finalizamos aqui a dedução
Juntamente com as equações de Navier-Stokes, acredito que a equação de Bernoulli seja uma das mais importantes da mecânica dos fluidos
Com ela é possível resolver muitos problemas com bastante facilidade
Para exemplificar, podemos utilizar a equação de Bernoulli para obter a fórmula da altura manométrica total e do NPSH disponível de uma instalação de recalque (Leia mais posts)
Vídeo com a dedução da equação de Bernoulli
OBS.: Essa é a planilha mais simples e intuitiva que conheço para o dimensionamento de bombas centrífugas. Ela calcula a altura manométrica total, vazão de projeto, potência necessária da bomba e NPSH disponível. Além disso, gera memorial de cálculo automaticamente
Saiba mais sobre a planilha Clicando Aqui
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Escrito por: Pedro Henrique Lelis Brito
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